CAPÍTULO 11 - MERCADO DE ATIVOS

1. Suponha que o ativo A possa ser vendido a US$11,00 no próximo período. Se outros ativos semelhantes a A pagarem uma taxa de rendimento de 10%, qual deve ser o preço atual do ativo A?

R: Considerando que este mercado seja competitivo, e que não seja possível a arbitragem, o ativo A deverá estar se valorizando também em 10% do período atual para o próximo período para que atinja o valor de US$11,00, e dessa maneira, seja equivalente aos outros ativos semelhantes à si. Logo, o preço atual do ativo A deverá ser US$10,00. Isso é equivalente a definirmos o Valor Presente de A a partir dos ativos que lhe são equivalentes:

2. Uma casa que pode ser alugada por US$10.000,00 anuais e vendida por US$110.000,00 daqui a um ano pode ser comprada por US$100.000,00. Qual a taxa de rendimento dessa casa?

R: A taxa de retorno será dada pela razão entre os rendimentos recebidos e o valor presente do ativo. No caso, os rendimentos a serem recebidos será (10.000,00) referente ao aluguel e (10.000,00) referente à valorização nominal do imóvel, e o valor presente do imóvel é dado como 100.000,00. Sendo assim, temos:

3. Os pagamentos de certos tipos de bônus (por exemplo, os bônus municipais) não são tributados. Se bônus semelhantes, porém tributados, rendem 10%, e todos os investidores enfrentam uma taxa marginal de imposto de 40%, que taxa de rendimento os bônus não tributados têm de proporcionar?

R: Como colocado no livro texto. O fato de ativos diferentes serem taxados de forma diferenciada significa que a regra de arbitragem tem de ser ajustada para levar em consideração as diferenças na tributação ao se compararem as taxas de rendimento. Suponhamos que um ativo pague uma taxa de juros antes dos impostos de rb, enquanto outro ativo pague um rendimento livre de impostos, rc. Se ambos pertencem a indivíduos que pagam impostos de renda à taxa t, teremos de ter

(1 - t)rb = rc

Sendo assim, no caso da questão apresentada,

(1 - 0,4)0,1 = rc

rc = 0,06.

4. Suponhamos que um recurso escasso, mas de demanda constante, se esgote em dez anos. Se um recurso alternativo estiver disponível ao preço de US$40,00 e se a taxa de juros for de 10%, qual terá de ser o preço de hoje do recurso escasso?

R: Considerando que, o preço máximo que esse recurso poderá atingir é o preço equivalente do seu substituto imediato, então temos que o preço hoje desse ativo, p0, deve crescer à taxa de juros r nos próximos T anos para ficar igual à tal preço.

Sendo assim, para os dados do problema:

CAPÍTULO 10 - ESCOLHA INTERTEMPORAL

1. Quanto valem hoje US$1.000.000,00 a serem entregues dentro de 20 anos a uma taxa de juros de 20%?

R: O que a questão pede, é exatamente a definição do valor-presente, definido da seguinte forma pelo Varian:

"O valor presente é a única forma correta de converter determinado fluxo de pagamentos em unidades monetárias de hoje".

Em termos matemáticos, o valor presente pode então ser definido como

Onde x é o valor futuro para o qual se analisa o valor presente, r é a taxa de juros (considerada constante) à qual tal valor é analisado, e t é o número de períodos no qual corre tal valor.

Sendo assim, para a questão dada teríamos:

que corresponde à US$26.084,0533.

No livro, o Varian, ou seja lá quem tenha editado os exercícios, foi preguiçoso, e deu uma resposta baseada na tabela 10.1 do capítulo 10, onde ele calcula o valor presente de US$1,00 para vários períodos.

No caso, para US$1,00 a ser pago daqui a vinte anos o valor presente corresponderia a US$0,03. O autor então pegou esse valor e o multiplicou por 1.000.000,00 obtendo o valor de US$30.000.000,00 (quase US$4.000,00 de diferença!). Esse erro ocorre porque na tabela os valores foram arredondados para duas casas decimais, o valor mais preciso seria 0,0260840533045888, que possui diferença insignificante no contexto de US$1,00. Porém, no contexto de US$1.000.000,00 a diferença se torna consideravelmente grande. Este é um bom exemplo de que não podemos desprezar pequenas imprecisões em determinados contextos.

2. À medida que a taxa de juros aumenta, a restrição orçamentária intertemporal torna-se mais íngreme ou mais plana?

R: Observe a curva de restrição orçamentária intertemporal:

Se atente aos interceptos. O que ocorre no eixo C2 se r aumenta? No caso, r entre multiplicando m1 (a dotação do primeiro período), aumentando assim o valor, logo o intercepto se deslocará para cima. No caso do eixo C1, r entra dividindo m2 (a dotação do segundo período), e se r aumentar então, reduzirá esse valor, deslocando para a direita esse intercepto. Sendo assim, a curva deverá se tornar mais íngreme.

3. A hipótese de que os bens sejam substitutos perfeitos deveria valer num estudo sobre as compras intertemporais de alimentos?

R: A hipótese de bens substitutos perfeitos em escolhas intertemporais se refere ao caso em que traçamos curvas de indiferença com uma inclinação constante de -1, logo, elas representarão os gostos de um consumidor que não se importa entre consumir hoje ou amanhã. Sua taxa marginal de substituição entre hoje e amanhã seria de -1. Pela própria definição fica claro que o consumidor não possui essa opção em relação à alimentos, já que esses devem ser consumidos todos os dias (ninguem é indiferente almoçar hoje e amanhã ou "não almoçar hoje e almoçar duas vezes amanhã".)

4. Um consumidor, que começou como emprestador, continua a ser emprestador mesmo após o declínio da taxa de juros. Como estará a situação desse consumidor após a variação da taxa de juros: melhor ou pior? E se o consumidor tornar-se tomador de empréstimos após a variação, ficará melhor ou pior situação?

R: Um indivíduo que seja emprestador possui a seguinte caracterização do seu ponto ótimo de consumo (tangente da sua curva de indiferença e sua restrição orçamentária intertemporal):

Nesse gráfico, estamos dizendo que o indivíduo consome menos do que a sua dotação orçamentária, e logo, dá como destino à sua sobre orçamentária o empréstimo. A questão está dizendo que o sujeito continua emprestando após a queda da taxa de juros (o que em tese, é um desestimulo ao empréstimo). Como vimos no exemplo anterior, se a taxa de juros aumenta, a curva de restrição orçamentária intertemporal se torna mais íngreme, e logo, para o inverso (diminuição da taxa de juros), essa curva se torna mais plana. Quando há uma mudança na taxa de juros, a curva de restrição orçamentária gira tendo como pivô o ponto de dotação inicial do indivíduo (afinal sua renda nominal não mudara). Logo, o seguinte gráfico ilustra essa situação:

Observe que, se o sujeito continua como emprestador, a curva de indiferença que tocará a sua curva de restrição deverá obrigatoriamente passar pela área amarela. Logo, ela não terá como estar acima da curva de indiferença anterior (esse exemplo não perde em generalidade). Logo, o sujeito estará numa condição pior (uma vez que estará numa curva de indiferença inferior).

5. Qual o valor presente de US$100,00 daqui a um ano, à taxa de juros de 10%? E qual o valor presente se a taxa for de 5%?

R: Como na primeira questão, podemos utilizar a seguinte fórmula:

À 10% teremos:

À 5% teremos:

CAPÍTULO 7 - PREFERÊNCIA REVELADA

1. Quando os preços são (p1, p2) = (1, 2), o consumidor demanda (x1, x2) = (1, 2) e quando os preços são (q1, q2) = (2, 1), o consumidor demanda (y1, y2) = (2, 1). Esse comportamento é consistente com o modelo de comportamento maximizador?

R: Observe primeiramente o consumo do bem 1. Quando este custava 1, o consumidor comprou 1, e quando custava 2, o consumidor comprou 2. Na verdade ele podia ter comprado 2 antes. Agora observe o consumo do bem 2. Quando este custava 2 o consumidor comprou 2, e quando passou a custar 1 ele comprou apenas 1, sendo que se o seu gosto se tivesse mantido constante ele poderia ter comprado quatro. Juntado o consumo de ambos os bens torna-se claro que o consumidor está violando o Axioma Fraco da Preferência Revelada, e não está sendo consistente com o modelo de comportamento maximizador.

2. Quando os preços são (p1, p2) = (2,1), o consumidor demanda (x1, x2) = (1, 2) e quando os preços são (q1, q2) = (1, 2), o consumidor demanda (y1, y2) = (2,1). Esse comportamento é coerente com o modelo de comportamento maximizador?

R: Vamos observar novamente o consumo de cada bem, primeiramente o bem 1. Quando este custava 2, o consumidor comprou 1 dele. E quando passou a custar 1 o consumidor comprou 2. Desta maneira ele foi consistente com suas escolhas. Para o bem 2, quando o preço era 1 o consumidor comprou 2, e quando era 2 o consumidor comprou 1, mantendo-se fiel às suas escolhas anteriores. Logo, o consumidor realmente não podia consumir a cesta y antes, sendo assim coerente com o modelo de comportamento maximizador.

3. No exercício anterior, qual cesta é preferida pelo consumidor, a cesta X ou a cesta Y?

R: Não há como responder à questão por que os bens trocaram de posição quanto aos preços. Se alguma das cestas tivesse sido consumida quando a outra estava disponível, ai sim poderíamos dizer que tal cesta é preferida em relação à outra que estava disponível.

4. Vimos que o ajustamento da Previdência Social para as variações de preços tipicamente fariam com que os beneficiários ficassem pelo menos tão bem quanto estavam no ano-base. Que tipo de variações de preços deixaria os beneficiários exatamente na mesma situação, independentemente de suas preferências?

R: Se ambos os preços variarem na mesma quantidade, a nova reta orçamentária será paralela à anterior e assim, com a compensação da renda, o aposentado voltaria ao mesmo ponto de consumo anterior.

5. No mesmo contexto da questão anterior, que tipo de preferências deixariam o consumidor exatamente como no ano-base, para todas as variações de preços?

R: Se os bens forem complementares perfeitos, o consumidor irá ter que manter sua proporção de consumo mesmo depois da compensação de renda pois não tocará outra curva de indiferença depois dessa compensação.

imagem fonte: http://www.vooz.com.br/blogs/decisoes-e-escolhas-uma-questao-essencial-17911.html

CAPÍTULO 6 - DEMANDA

1. Se o consumidor estiver consumindo exatamente dois bens e se gastar sempre todo o seu dinheiro com eles, poderão ser ambos os bens inferiores?

R: O bem inferior se caracteriza pelo fato de, caso a renda do consumidor aumentar, ele consuma menos desse bem devido ao fato de que sua renda lhe permitirá na nova situação consumir outros bens em detrimento deste. No entanto, se o consumidor do enunciado está consumindo mais de ambos ou bens com o aumento da renda, então pelo menos um deles não poderá ser inferior, pois algum deles ele terá que estar comprando com a sua renda extra.

2. Demonstre que os substitutos perfeito são um exemplo de preferências homotéticas.

R: Preferências homotéticas são o caso nos quais, as preferências do consumidor dependam apenas da razão entre o bem 1 e o bem 2. Isso significa que se o consumidor prefere (x1, x2) a (y1, y2), então ele automaticamente preferirá (2x1, 2x2) a (2y1, 2y2), (3x1, 3x2) a (3y1, 3y2), e assim por diante, uma vez que a razão entre o bem 1 e o bem 2 é a mesma para todas as cestas. Na verdade o consumidor prefere (tx1, tx2) a (ty1, ty2) para qualquer valor positivo de t. Casos de substitutos perfeitos, complementares perfeitos e Cobb-Douglas são casos de preferências homotéticas. Para substitutos perfeitos as curvas de indiferença são lineares (linhas retas) com inclinação negativa e sua função de utilidade será dada por u(x1, x2) = x1 + x2. Portanto, se u(x1, x2) > u(y1, y2), teremos x1 + x2 > y1 + y2. Segue-se que tx1 + tx2 > ty1 + ty2, de modo que u(tx1, tx2) > u(ty1, ty2).

3. Demonstre que as preferências Cobb-Douglas são preferências homotéticas.

R: Considerando a forma da função do tipo Cobb-Douglas observamos nela as seguintes propriedades:

Assim, se u(x1, x2) > u(y1, y2), saberemos que u(tx1, tx2) > u(ty1, ty2), de modo que as preferências Cobb-Douglas serão ainda homotéticas.

4. A curva de renda-consumo está para a curva de Engel como a curva de preço-consumo está para a... ?

R: Para responder a esta questão "tão bem elaborada" basta que raciocinemos sobre qual variável econômica é derivada da relação de preço e consumo. Na verdade, duas grandezas principais são extraídas, a oferta e a a demanda. No caso, como estamos trabalhando com a teoria do consumidor, torna-se claro que a curva derivada da curva de preço-consumo é a curva de demanda.

5. Se as preferências forem côncavas, o consumidor chegará a consumir ambos os bens juntos?

R: Não, pois o seu ponto ótimo dada a sua restrição orçamentária sempre implicará em uma solução de canto (consumo zero de um dos bens).

6. Hambúrgueres e pãezinhos são complementares ou substitutos?

R: A questão é tosca mas tem algo de interessante. Se pensarmos em termos sanduíches, diremos que os bens propostos são complementares. Mas se pensarmos que há muitas pessoas que consomem hambúrgueres isoladamente, podemos pensas que como ambos são alimentos, seriam substitutos.

7. Qual a forma da função de demanda inversa para o bem 1 no caso de complementares perfeitos?

R: Para inverter uma função de demanda é só evidenciar o preço do bem ao invés da sua quantidade na sua função de demanda. Como nos casos de complementares perfeitos essa função de demanda para o bem 1 é dada por x1 = m/(p1 + p2), teremos que sua função de demanda inversa será dada por p1 = (m/x1) - p2.

8. Verdadeiro ou Falso? Se a função de demanda é x1 = -p1, então a função de demanda inversa será x = 1/p1.

R: Falso. Como foi feito na questão anterior, seria o caso de evidenciar o preço, a função de demanda inversa seria p1 = -x1.

CAPÍTULO 5 - ESCOLHA

1. Se dois bens forem substitutos perfeitos, qual será a função de demanda do bem 2?

R: Quando os bens são substitutos perfeitos nós temos uma condição que pode ser caracterizar de três maneiras distintas. Primeiro observe o gráfico de escolha ótima para tais bens:

Observe que se o preço do bem 1 for menor do que o preço do bem 2, o consumidor irá consumir somente do bem 1, e nesse caso a reta orçamentária será mais plana que a curva de indiferença (que nesse caso é linear). Caso o bem 2 seja mais barato, a reta orçamentária será mais inclinada que a reta orçamentária, concentrando o consumo numa solução de canto para o bem 2. Caso ainda o preço dos bens seja iguais, a reta orçamentária terá a mesma inclinação que a curva de indiferença, e qualquer combinação dos dois bens é uma escolha ótima. Isso pode ser sintetizado na seguinte forma:

2. Suponhamos que as curvas de indiferença sejam descritas por linhas retas com uma inclinação de -b. Dados preços arbitrários p1 e p2 e renda em dinheiro m, como serão as escolhas ótimas do consumidor?

R: Se as curvas são retas é porque tratamos de bens substitutos. Se b = 1 então teremos o caso de substitutos perfeitos. No caso, não sabemos exatamente o valor de b, mas o tratamento analítico será semelhante ao da questão anterior. Podemos averiguar as seguintes condições:

A inclinação da reta orçamentária é absolutamente maior ou menor que b?

- Para p1/p2 > b, a reta orçamentária será mais inclinada, e nesse caso, a quantidade a se concentrar o consumo será no bem 2.

- Para p1/p2 < class="Apple-tab-span" style="white-space:pre"> concentrar o consumo será o bem 1.

- Para p1/p2 = b, temos que qualquer quantia dentro da curva de indiferença que toca a reta orçamentária será uma escolha ótima.

3. Suponhamos que o consumidor consuma sempre duas colheres de açúcar em cada xícara de café. Se o preço de cada colher de açúcar for p1 e o da xícara de café, p2, e se o consumidor tiver US$m para gastar em café e açúcar, quanto o consumidor quererá comprar?

R: O raciocínio que devemos fazer é o seguinte: para cada xícara de café consumida o consumidor compra duas colheres de açúcar. Sendo assim, na sua função de demanda, o número de colheres será duas vezes o número de xícaras. Logo, se simbolizarmos xícaras de café por x, teremos a seguinte equação de demanda: p1(2 x) + p2 (x) = m

Isolando x temos: x = m/(2p1 + p2)

4. Suponha que você tenha preferências altamente não-convexas por sorvete e azeitonas, como aquelas dadas no texto, e suponha que você se defronte com preços p1 e p2 e dispõe de m dólares para gastar. Relacione as escolhas para as cestas ótimas de consumo.

R: Trata-se de um caso típico de preferências côncavas. Nesses casos, o consumidor escolhe se especializar num bem ou em outro. No caso, se ele escolher o bem 2 (digamos azeitona), seu consumo será o ponto em que a curva de restrição orçamentária toca o eixo do bem 2, no caso, m/p2, e o consumo do bem 1 seria 0, para o caso dele escolher o bem 1 (digamos sorvete), o consumo se concentrará em m/p1 de sorvetes e 0 de azeitonas (bem 2).

5. Se o consumidor tiver uma função de utilidade , que fração da renda dele será gasta no bem 2?

R: Para resolver esse tipo de questão precisamos primeiro retirar a UMg de cada bem:

Observe que esta é função Cobb-Douglas. Para esse tipo de função você pode gravar que, dado o seguinte formato: , teremos as seguintes frações da renda despendidas para cada bem:

6. Para que tipo de preferências o consumidor estará exatamente tão bem quanto antes ao defrontar-se tanto com o imposto sobre a quantidade quanto com o imposto sobre a renda?

R: Seria o caso para curvas de preferências bem comportadas. A condição colocada no enunciado é fácil de se perceber como rara. Talvez o caso de complementares perfeito onde a variação no preço não impacta sobre variações na demanda seja o caso da questão, ou para bens muito inelásticos.

CAPÍTULO 4 - UTILIDADE

1. O texto afirmou que a elevação de um número a uma potência ímpar era uma transformação monotônica. E a elevação de um número a uma potência par? Seria uma transformação monotônica? (Dica: examine o caso f (u) = u²)

R: A transformação monotônica é um caso em que o ordenamento da utilidade deve ser mantido perante o ordenamento da quantidade dos bens. Ou nas palavras matemática de Varian, "transformação monotônica é um modo de transformar um conjunto de números em outro, mas preservando a ordem original dos números". Por essa definição, fica claro porque a potência ímpar é uma transformação monotônica, ela mantém a ordem dos números transformados mesmo que eles sejam negativos (o expoente ímpar de um número negativo é um número negativo), o que não ocorre em expoentes pares. Isso responde à pergunta do enunciado. A elevação a uma potência par seria uma transformação monotônica somente para números pares.

2. Qual das seguintes transformações é monotônica? (1) u = 2v - 13; (2) u = -1/v²; (3) u = 1/v²; (4) (u) = ln v; (5) u = -exp[-v]; (6) u = v²; (7) u = v² para v > 0; (8) u = v² para v <>.

R: Considerando as definições colocadas na resposta da questão 1, temos:

Para (1) a tranformação é monotônica, pois é linear, e toda forma linear é uma transformação linear. Para (2) a transformação não é monotônica, pois números crescentes serão transformados em números decrescentes. Para (3) a transformação não é linear pois os valores negativos serão positivados enquanto os positivos continuarão negativos, afetando a ordem. Para (4) a transformação pode ser monotônica desde que considerada apenas para v positivo (não há nenhum número para o qual elevemos e que resulte em um número negativo). Para (5) ela será uma transformação monotônica para todos os números, já que a ordem é mantida graças ao "meno" que antecede a exponencial. Para (6) não há transformação monotônica (vide exercício anterior). Para (7) há transformação monotônica dada a restrição de positividade de v imposta. Para (8) não há transformação monotônica uma vez que a ordem dos valores será alterada.

3 Afirmamos no texto que, se as preferências fossem monotônicas, uma diagonal que partisse da origem interceptaria cada uma das curvas de indiferença apenas uma vez. Você pode provar isso de maneira rigorosa? (Dica: o que aconteceria se a diagonal interceptasse alguma curva de indiferença duas vezes?)

R: Se tal linha interceptasse uma mesma curva mais de uma vez, implicaria que esses dois pontos de intercepto teriam utilidades equivalentes. Porém como a transformação é monotônica, isso seria um absurdo, pois o segundo intercepto implicaria em maior utilidade do que o intercepto anterior.

4.Que tipos de preferências são representados pela função de utilidade com a forma ? E pela função de utilidade ?

R: No caso da primeira função temos um caso em que acréscimos do bem 1 ou do bem 2 ocasionam aumento da utilidade independente do outro bem. A utilidade aumenta da mesma forma se acrescentarmos um ou outro bem, temos assim um caso de substitutos perfeitos. Observe que o mesmo princípio se aplica à segunda equação de utilidade, sendo esta também um caso de substitutos perfeitos.

5. Que tipo de preferências a função de utilidade com a forma representa? A função de utilidade é uma transformação monotônica de ?

R: O primeiro caso trata de preferências quase-lineares. Essa é um tipo raro mas útil de forma de preferência. Para a segunda pergunta do enunciado a resposta é sim. Basta observar que trata-se de um quadrado perfeito de uma soma que tem sempre resultados não-negativos (já que estamos tratando da quantidade dos bens).

6. Considere a função de utilidade . Que tipo de preferência ela representa? E a função é uma transformação monotônica de ? E a função é uma transformação monotônica de ?

R: A primeira função seria o equivalente a multiplicar a quantidade do bem 1 elevada à 1/2, pela quantidade do bem 2 elevada à 1/2. Como 1/2 + 1/2 = 1, estamos diante de uma Cobb-Douglas, que gera uma curva de preferências normal e bem comportada. Quanto à segunda pergunta ela não pode ser considerada uma transformação monotônica porque, ao potencializar somente o primeiro bem estaremos alterando a ordem na qual a quantidade de cada bem é estabelecida. Já no segundo caso, como cada bem é potencializado, tal ordem é mantida, podendo assim ser considerada uma transformação monotônica.

7. Como você explica que tomando-se uma uma transformação monotônica de uma função de utilidade a taxa marginal de substituição não se altera?

R: Isto ocorre porque a TMS analisa a razão das utilidade dos dois bens em questão. Se a TMS for tomada então numa curva de indiferença, tal proporção não deve se alterar, pois o conjunto de bens implicará sempre na mesma quantidade de utilidade, sendo assim a TMS também não se alterará. Observe que as utilidades marginais de cada bem mudam com a transformação monotônica, mas a razão entre as utilidades marginais permanece a mesma.

CAPÍTULO 3 - PREFERÊNCIAS

1. Se observarmos o consumidor escolher quando está disponível, poderemos concluir que ?

R: Preste atenção ao sinal da relação entre uma cesta e outra. No enunciado, está se afirmando que a cesta x é estritamente preferível à cesta y. Na verdade, a única coisa que podemos concluir é que a cesta x é pelo menos tão boa quanto a cesta y (elas são no mínimo iguais). Ou seja, a resposta é NÃO, e a relação deveria ser denotada por .

2. Imaginemos o grupo de pessoas A, B, C e a relação "pelo menos tão alta quanto", como em "A é pelo menos tão alta quanto B". Essa relação é transitiva? Ela é completa?

R: Varian define completude e transitividade da seguinte maneira:

Completa: Supomos que é possível comparar duas cestas quaisquer. Ou seja, dada uma cesta x qualquer e uma cesta y qualquer, pressupomos que ou ou, ainda, ambas, caso em que o consumidor é indiferente entre as duas cestas.

Transitiva: Se e , pressupomos então que . Em outras palavras, se o consumidor acha que X é pelo menos tão boa quanto Y e que Y é pelo menos tão boa quanto Z, então ele acha que X é pelo menos tão boa quanto Z.

Levando isso em consideração, pressupomos que a relação é transitiva, pois a medida da altura é contínua, e se A for mais alto que B e B for mais alto que C, A deverá então ser mais alto que C. Observe que a transitividade se aplica sempre que houverem grandezas físicas envolvidas. Em termos, físicos, podemos dizer também que a relação é completa, já que a altura pode ser totalmente medida de cada um dos indivíduos.

3. Pegue o mesmo grupo de pessoas e examine a relação "estritamente mais alta que". Essa relação é transitiva? Ela é reflexiva? Ela é completa?

R: Nesse caso, a relação não será transitiva, pelos mesmo motivos anunciados no tópico anterior, mas não poderá ser completa, uma vez que um indivíduo pode ter a mesma altura que outro (e nesse caso o termo "estrito" não se aplicaria). Bem como a relação reflexiva também não se aplicaria, uma vez que este pressuposto implica que uma cesta seja pelo menos tão boa quanto ela mesma. Mas como no caso do enunciado, aplicamos o termo "estrito", o sujeito não pode ser igual à própria altura, assim como, por razões óbvias, não pode ser mais alto que a si próprio.

4. Um técnico de futebol americano de uma faculdade afirma que, dados dois atacantes A e B, ele sempre prefere o que for maior e mais rápido. Essa relação de preferência é transitiva? Ela é completa?

R: A relação será transitiva, já que estamos tratando de grandezas físicas. Mas não será completa, uma vez que a medição de preferência não pode ser feito em sua totalidade. Se por exemplo A for maior que B, porém A for mais lento que B, não haveria como estabelecer a relação.

5. Uma curva de indiferença pode cruzar a sim mesma? Por exemplo, a Figura 3.2 poderia retratar uma única curva de indiferença?

R: A Figura 3.2 à qual o enunciado se refere é a seguinte:

Como se observa na figura a resposta já é dada nela própria. A curva de indiferença nunca poderá cruzar a si mesma enquanto for bem-comportada. Isso só ocorrera se desconsiderarmos os axiomas que baseiam a curva de indiferença (seria o caso por exemplo de uma curva que admita saciedade local).

6. A Figura 3.2 poderia ser uma única curva de indiferença se as preferências fossem monotônicas?

R: Não, porque a ordem crescente da utilidade não seria respeitada, uma vez que existem cestas que possuem estritamente mais dos dois bens que outra na mesma curva de indiferença.

7. Se tanto o pimentão quanto a anchova forem males, a curva de indiferença terá inclinação positiva ou negativa?

R: A inclinação será negativa como para cestas normais, a diferença será que a utilidade crescerá na direção da origem. No livro há o exemplo em que a anchova é "mau" e o pimentão é "bem". Nesse caso, a curva teria inclinação positiva.

8. Explique por que as preferências convexas significam que "as médias são preferidas aos extremos".

R: Porque o pressuposto da convexidade implica que o consumidor prefira fracamente uma cesta com um pouco de cada bem que uma cesta com apenas um dos bens, ou com grande maioria de um dos bens. Se tomássemos por exemplo o caso do "refrigerante" e "sanduíche", o consumidor provavelmente optaria por uma combinação média de ambos, ao invés de uma cesta só com refrigerante ou só sanduíche.

9. Qual a sua taxa marginal de substituição de notas de R$1 por R$5?

R: Considerando que a taxa marginal de substituição seja a razão dada por - que a taxa à qual o consumidor está propenso a substituir o bem 2 pelo bem 1, com a razão negativa para simbolizar que a curva de preferência tem inclinação negativa. Como a TMS é a própria derivada da curva de indiferença, ela tem que ser negativa. Sendo assim, no caso do enunciado, teríamos -5/1, ou seja, -5. O consumidor estaria disposto a trocar cinco notas de 1 por uma de 5. (Seria -1/5 para a troca dos eixos, como o mesmo significado).

10. Se o bem 1 for "neutro", qual será a sua taxa marginal de substituição pelo bem 2?

R: Observe o gráfico para o caso de um bem neutro e um bem normal:

A quantidade do bem neutro não interfere na utilidade, que será dada somente pela quantidade do bem normal. Observe também que a Taxa Marginal de Substituição do bem normal pelo neutro será zero. Se você tirar uma bem normal do consumidor, não precisará acrescentar nada do bem neutro. É interessante aqui observar que a derivada é infinita, e de fato se dividirmos as variações teríamos um número inteiro do bem normal dividido por zero do bem 2. Mas tomando o conceito de TMS e de curvas de indiferença bem comportadas, desconsideramos esse caso excêntrico para a TMS, e levamos em conta a divisão do bem 2 (o) pelo bem 1, que será igual a zero.

11. Imagine alguns outros bens para os quais suas preferências podem ser côncavas.

R: Seria o caso por exemplo de uma disciplina na faculdade na qual você deve buscar especialização em detrimento de outra. Se por exemplo você pretende na pós-graduação se especializar em Macroeconomia, não poderá se dedicar à microeconomia. Nesse caso, você busca a especialização num dos bens, em detrimento de uma carga horária média entre as matérias.