CAPÍTULO 4 - UTILIDADE

1. O texto afirmou que a elevação de um número a uma potência ímpar era uma transformação monotônica. E a elevação de um número a uma potência par? Seria uma transformação monotônica? (Dica: examine o caso f (u) = u²)

R: A transformação monotônica é um caso em que o ordenamento da utilidade deve ser mantido perante o ordenamento da quantidade dos bens. Ou nas palavras matemática de Varian, "transformação monotônica é um modo de transformar um conjunto de números em outro, mas preservando a ordem original dos números". Por essa definição, fica claro porque a potência ímpar é uma transformação monotônica, ela mantém a ordem dos números transformados mesmo que eles sejam negativos (o expoente ímpar de um número negativo é um número negativo), o que não ocorre em expoentes pares. Isso responde à pergunta do enunciado. A elevação a uma potência par seria uma transformação monotônica somente para números pares.

2. Qual das seguintes transformações é monotônica? (1) u = 2v - 13; (2) u = -1/v²; (3) u = 1/v²; (4) (u) = ln v; (5) u = -exp[-v]; (6) u = v²; (7) u = v² para v > 0; (8) u = v² para v <>.

R: Considerando as definições colocadas na resposta da questão 1, temos:

Para (1) a tranformação é monotônica, pois é linear, e toda forma linear é uma transformação linear. Para (2) a transformação não é monotônica, pois números crescentes serão transformados em números decrescentes. Para (3) a transformação não é linear pois os valores negativos serão positivados enquanto os positivos continuarão negativos, afetando a ordem. Para (4) a transformação pode ser monotônica desde que considerada apenas para v positivo (não há nenhum número para o qual elevemos e que resulte em um número negativo). Para (5) ela será uma transformação monotônica para todos os números, já que a ordem é mantida graças ao "meno" que antecede a exponencial. Para (6) não há transformação monotônica (vide exercício anterior). Para (7) há transformação monotônica dada a restrição de positividade de v imposta. Para (8) não há transformação monotônica uma vez que a ordem dos valores será alterada.

3 Afirmamos no texto que, se as preferências fossem monotônicas, uma diagonal que partisse da origem interceptaria cada uma das curvas de indiferença apenas uma vez. Você pode provar isso de maneira rigorosa? (Dica: o que aconteceria se a diagonal interceptasse alguma curva de indiferença duas vezes?)

R: Se tal linha interceptasse uma mesma curva mais de uma vez, implicaria que esses dois pontos de intercepto teriam utilidades equivalentes. Porém como a transformação é monotônica, isso seria um absurdo, pois o segundo intercepto implicaria em maior utilidade do que o intercepto anterior.

4.Que tipos de preferências são representados pela função de utilidade com a forma ? E pela função de utilidade ?

R: No caso da primeira função temos um caso em que acréscimos do bem 1 ou do bem 2 ocasionam aumento da utilidade independente do outro bem. A utilidade aumenta da mesma forma se acrescentarmos um ou outro bem, temos assim um caso de substitutos perfeitos. Observe que o mesmo princípio se aplica à segunda equação de utilidade, sendo esta também um caso de substitutos perfeitos.

5. Que tipo de preferências a função de utilidade com a forma representa? A função de utilidade é uma transformação monotônica de ?

R: O primeiro caso trata de preferências quase-lineares. Essa é um tipo raro mas útil de forma de preferência. Para a segunda pergunta do enunciado a resposta é sim. Basta observar que trata-se de um quadrado perfeito de uma soma que tem sempre resultados não-negativos (já que estamos tratando da quantidade dos bens).

6. Considere a função de utilidade . Que tipo de preferência ela representa? E a função é uma transformação monotônica de ? E a função é uma transformação monotônica de ?

R: A primeira função seria o equivalente a multiplicar a quantidade do bem 1 elevada à 1/2, pela quantidade do bem 2 elevada à 1/2. Como 1/2 + 1/2 = 1, estamos diante de uma Cobb-Douglas, que gera uma curva de preferências normal e bem comportada. Quanto à segunda pergunta ela não pode ser considerada uma transformação monotônica porque, ao potencializar somente o primeiro bem estaremos alterando a ordem na qual a quantidade de cada bem é estabelecida. Já no segundo caso, como cada bem é potencializado, tal ordem é mantida, podendo assim ser considerada uma transformação monotônica.

7. Como você explica que tomando-se uma uma transformação monotônica de uma função de utilidade a taxa marginal de substituição não se altera?

R: Isto ocorre porque a TMS analisa a razão das utilidade dos dois bens em questão. Se a TMS for tomada então numa curva de indiferença, tal proporção não deve se alterar, pois o conjunto de bens implicará sempre na mesma quantidade de utilidade, sendo assim a TMS também não se alterará. Observe que as utilidades marginais de cada bem mudam com a transformação monotônica, mas a razão entre as utilidades marginais permanece a mesma.